В школьной программе математики каждый ученик знакомится с Теоремой Пифагора. Однако, не всем ученикам бывает понятно, почему a²+b²=c². В этой статье мы рассмотрим несколько подходов для выведения этой знаменитой теоремы.
Первый подход основан на геометрии. При расчете площади квадрата со стороной c можно разбить его на четыре треугольника, прямоугольных по углам. Каждый из треугольников со сторонами a и b образует катеты гипотенузы c. Значит, сумма площадей всех четырех треугольников равна площади квадрата со стороной c. Таким образом, мы получаем формулу a²+b²=c².
Второй подход использует подобные треугольники. Расмотрим треугольники с катетами a и b, и гипотенузой c. Очевидно, они подобны друг другу. Соответственно, отношение длин сторон одного треугольника равно отношению длин сторон другого треугольника. То есть, a/c=b/c. Умножим каждую сторону на c², чтобы избавиться от знаменателя, и получим a²+b²=c².
Третий подход основан на теории Виета. Если мы рассмотрим уравнение x²-(a²+b²)x+(ab)²=0, то мы получим характеристическое уравнение для квадратного трехчлена. Его корни будут равны a и b. Таким образом, мы можем записать x²-(a+b)x+(ab)²=0. Сумма корней этого уравнения равна a+b, что мы можем представить как c, где c=a+b. Тогда (a+b)²=a²+2ab+b², что можно записать как c²=a²+b²+2ab. Вычитая 2ab из обеих частей, мы получаем a²+b²=c².
Таким образом, мы рассмотрели три способа получения Теоремы Пифагора. Каждый из них достаточно прост и легко понятен даже школьникам. Именно благодаря этой теореме мы можем расчитывать геометрические задачи и создавать математические модели.